บทที่ 6 เทคนิคของการหาปริพันธ์ (Techniques of Integration)

ในบทนี้เราจะศึกษาวิธีต่างๆ ที่สำคัญในการช่วยหาปริพันธ์ของฟังก์ชันต่างๆ เทคนิคแรก คือ การเปลี่ยนตัวแปร (the substitution rule) ซึ่งวิธีนี้มีการประยุกต์มาจากกฎลูกโซ่ เทคนิคถัดมา คือ integration by part ซึ่งประยุกต์มาจากการหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน และเทคนิคสุดท้าย คือ integration by partial fraction โดยการเลือกใช้เทคนิคต่างๆ จะขึ้นอยู่กับ integrand

6.1 การหาปริพันธ์โดยการเปลี่ยนตัวแปร (Integration by Substitution)

พิจารณา indefinite integral ที่อยู่ในรูปของ \[\int f(g(x))g'(x) dx\] ถ้ากำหนดให้ \(F(x)\) เป็น antiderivative ของ \(f(x)\), นั่นคือ \(F'(x) = f(x)\) แล้วโดยการใช้กฏลูกโซ่เราจะได้ว่า \[\frac{d}{dx} F(g(x)) = F'(g(x)) g'(x)\] หรือ

\[\begin{equation} \int F'(g(x)) g'(x) dx = F(g(x)) + C \tag{6.1} \end{equation}\]

และถ้ากำหนดให้ \(u = g(x)\) และพิจารณาสมการที่ (6.1) เราจะได้ว่า \[\int F'(g(x)) g'(x) dx = F(g(x)) + C = F(u) + C = \int F'(u) du\] หรือ \[\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du\]

สรุปแล้วเมื่อเราทำการเปลี่ยนตัวแปร \(u = g(x)\) เราจะได้ว่า \(du = g'(x)dx\) ดังนั้น \(\int f(g(x)) g'(x) dx\) สามารถถูกเขียนให้อยู่ในรูปของ \(\int f(u)du\) ซึ่งทำให้สามารถหาปริพันธ์ได้นั่นเอง

ทฤษฎี 6.1 ถ้า \(u = g(x)\) แล้ว \[\int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(u) du\]

ตัวอย่าง 6.1 จงหาปริพันธ์ต่อไปนี้ \(\int x^2 (x^3 + 1)^5 dx\)

วิธีทำ โดยการเปลี่ยนตัวแปร \(u = x^3 + 1\) เราจะได้ว่า \(du = 3x^2 dx\) ดังนั้นเราสามารถเขียน integral ใหม่ได้ดังนี้

\[ \begin{aligned} \int x^2 (x^3 + 1)^5 dx &= \int u^5 \frac{1}{3} du \\ &= \frac{1}{3}\int u^5 du\\ &= \frac{1}{3} \frac{u^6}{6} + C\\ &= \frac{1}{18} (x^3+1)^6 + C \end{aligned} \]

ตัวอย่าง 6.2 จงหาปริพันธ์ต่อไปนี้ \(\int \sqrt{2x + 3} dx\)

วิธีทำ โดยการเปลี่ยนตัวแปร \(u = 2x + 3\) เราจะได้ว่า \(du = 2 dx\) ดังนั้นเราสามารถเขียน integral ใหม่ได้ดังนี้

\[\begin{equation} \begin{aligned} \int \sqrt{2x + 3} dx &= \int \sqrt{u} \frac{1}{2} du \\ &= \frac{1}{2}\int u^{1/2} du\\ &= \frac{1}{2} \frac{ u^{3/2}}{3/2} + C\\ &= \frac{1}{3} (2x + 3)^{3/2} + C \end{aligned} \end{equation}\]

ตัวอย่าง 6.3 จงหาปริพันธ์ต่อไปนี้ \(\int \frac{1}{x} (1+ \ln x)^2 dx\)

วิธีทำ โดยการเปลี่ยนตัวแปร \(u = 1 + \ln x\) เราจะได้ว่า \(du = \frac{dx}{x}\) ดังนั้นเราสามารถเขียน integral ใหม่ได้ดังนี้

\[\begin{equation} \begin{aligned} \int \frac{1}{x} (1+ \ln x)^2 dx &= \int u^2 du \\ &= \frac{u^3}{3} + C\\ &= \frac{1}{3} (1 + \ln x)^3 + C \end{aligned} \end{equation}\]

6.1.1 แบบฝึกหัด (Integrals)

จงหาปริพันธ์ต่อไปนี้

  1. \(\int \sqrt{x+1} dx\)

  2. \(\int (x^2 - 2x) \sqrt{x^3 - 3x^2 +1} dx\)

  3. \(\int \sin x e^{\cos x} dx\)

  4. \(\int \tan \sec^2 x dx\)

  5. \(\int \frac{(\ln x)^2}{x} dx\)

6.1.2 การหาปริพันธ์โดยการแทนด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Trigonometric Substitutions)

เราสามารถใช้วิธีการเปลี่ยนตัวแปรเพื่อหาปริพันธ์ของฟังก์ชันในรูปแบบต่อไปนี้

  1. \(\int \sin^m x \cos^n x dx\)

  2. \(\int \tan^m x \sec^n x dx\)

  3. \(\int \cot^m x \csc^n x dx\)

โดยในบทนี้จะยกตัวอย่างเฉพาะในกรณีแรกเท่านั้น ส่วนกรณีที่เหลือสามารถใช้หลักการเดียวกัน

พิจารณาจากตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง 6.4 จงหาปริพันธ์ต่อไปนี้ \(\int \sin^3 x \cos x dx\)

วิธีทำ โดยการเปลี่ยนตัวแปร \(u = \sin x\) เราจะได้ว่า \(du = \cos x dx\) ดังนั้น \[\int \sin^3 x \cos x dx = \int u^3 du = \frac{1}{4}u^4 + C = \frac{1}{4} \sin ^4 x + C\]

ในกรณีของ integral แบบแรก \(\int \sin^m x \cos^n x dx\) เราจะแบ่งการพิจารณาเป็น 2 กรณี ดังนี้

กรณีที่ 1 ถ้า \(m\) หรือ \(n\) อย่างน้อยหนึ่งตัวที่เป็นจำนวนบวกคี่ สมมติให้ \(m\) เป็นจำนวนบวกคี่ ดังนั้นเราสามารถที่จะเขียน \(m = 2k +1\) เราจะแยก \(\sin x\) ออกมาจาก \(\sin^{2k} x\) และจะใช้เอกลักษณ์ \(\sin^2 x = (1 - \cos^2 x)\) ในการจัดรูป integral ดังนี้

\[\begin{equation} \begin{aligned} \int \sin^m x \cos^n x dx &= \int (\sin^{2}x)^k \cos^n x \sin x dx \\ &= \int (1 - \cos^2 x)^k \cos^n x \sin x dx \\ &= - \int (1 - u^2)^k u^n du \end{aligned} \end{equation}\]

โดยเรากำหนดให้ \(u = \cos x\) สังเกตว่า integral สุดท้ายจะง่ายต่อการหาอนุพันธ์

ตัวอย่าง 6.5 จงหาปริพันธ์ของ \(\int \sin^3 x \cos^3 x dx\)

กรณีที่ 2 ถ้า \(m\) และ \(n\) เป็นจำนวนบวกคู่ ในกรณีนี้เราสามารถที่จะใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติต่อไปนี้ในการทำให้ integral อยู่ในรูปที่ง่ายต่อการหาค่าปริพันธ์ \[\sin^2 x = \frac{1}{2}(1-\cos 2x) \quad \cos^2 x = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x)\] โดยพิจารณาจากตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง 6.6 จงหาปริพันธ์ของ \(\int \sin^2 x \cos^2 x dx\)

6.2 การหาปริพันธ์โดยแยกส่วน (Integration by Parts)

ในบทนี้เราจะใช้การแปลง (transformation) ในการเปลี่ยนรูปของ integral บางประเภทให้อยู่ในรูปที่ง่ายต่อการหา โดยเริ่มต้นจากการพิจารณาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน ต่อไปนี้ \[\frac{d}{dx} (uv) = v\frac{du}{dx} + u\frac{dv}{dx}\] หรือ เขียนให้อยู่ในรูปของ \[u(x) v'(x) = \frac{d}{dx}(u(x)v(x)) - v(x)u'(x)\] โดยการหาปริพันธ์เทียบกับ \(x\) เราจะได้ว่า \[\int u(x) v'(x) dx = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)dx\] หรือ \[\int u dv = uv - \int v du\] สูตรการหาปริพันธ์นี้ เรียกว่า integration by parts

ในการใช้สูตรดังกล่าว เราจำเป็นที่จะต้องแบ่ง integrand ออกเป็น 2 ส่วนด้วยกัน คือ ส่วนของ u และ dv โดยอาศัยหลักการต่อไปนี้

  1. ส่วน \(dv\) ต้องเป็นส่วนที่ง่ายต่อการหาปริพันธ์

  2. ในพจน์ของ \(\int v du\) จะต้องง่ายต่อการหา

ตัวอย่าง 6.7 จงหาปริพันธ์ของ \(\int x e^x dx\)

ตัวอย่าง 6.8 จงหาปริพันธ์ของ \(\int x \sin x dx\)

ตัวอย่าง 6.9 จงหาปริพันธ์ของ \(\int e^x \sin 2x dx\)

ตัวอย่าง 6.10 จงหาปริพันธ์ของ \(\int \ln xdx\)

ตัวอย่าง 6.11 จงหาปริพันธ์ของ \(\int x \sqrt{x+1}dx\)

6.3 การหาปริพันธ์โดยเศษส่วนย่อย (Integration by Partial Fractions)

เราจะศึกษาวิธีการหาปริพันธ์ของ rational ฟังก์ชัน หรือฟังก์ชันที่อยู่ในรูปของ \[R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\] โดยที่ \(P(x),Q(x)\) คือพหุนามใดๆ ซึ่งจะเรียกวิธีต่อไปนี้ว่า partial fractions หลักการอยู่ที่การแยกเศษส่วน \(R(x)\) ให้อยู่ในรูปของผลรวมต่อไปนี้

\[\begin{equation} R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = p(x) + F_1(x) + F_2(x) + \ldots + F_m(x) \tag{6.2} \end{equation}\]

โดยที่ \(p(x)\) คือ พหุนามที่ได้จากการหาร และ \(F_k(x)\) จะเป็นเศษส่วนที่ง่ายต่อการหาปริพันธ์

พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ \[\begin{equation} \begin{split} \frac{-1+x^2+x^3+x^4}{x + x^3} &= 1 +x - \frac{x+1}{x + x^3} \\ &= 1 +x -\frac{1}{x} + \frac{x-1}{1+x^2} \\ \end{split} (\#eq:exa-partial-frac) \end{equation}\]
หลังการแยกเศษส่วนเราสามารถที่จะหาปริพันธ์ได้ง่ายขึ้น

\[\begin{equation} \begin{aligned} \int \frac{-1+x^2+x^3+x^4}{x + x^3}dx &= \int\left(1 +x -\frac{1}{x} + \frac{x}{1+x^2} -\frac{1}{1+x^2}\right)dx \\ &=x + \frac{1}{2}x^2 - \ln|x| +\frac{1}{2}\ln(x^2+1) -\tan^{-1}x + C \end{aligned} \end{equation}\]

ในการแยกเศษส่วน \(R(x)\) ในสมการ (6.2) ผลลัพธ์ที่ได้จะมีเศษส่วน \(F_k(x)\) เพิ่มขึ้นมา โดยเศษส่วน \(F_k(x)\) นี้จะอยู่ในรูปของ \[\begin{equation} \frac{A}{(ax + b)^n} \text{ หรือ } \frac{Ax + B}{(ax^2 + bx +c)^n} (\#eq:partial-frac-1) \end{equation}\] อย่างใดอย่างหนึ่ง (ซึ่งมีการพิสูจน์ในวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูง) และเราจะเรียกเศษส่วนนี้ว่า partial fraction หรือเศษส่วนย่อย ตัวอย่างในสมการ (??) เศษส่วนย่อย คือ \(-\frac{1}{x}\) และ \(\frac{x-1}{1+x^2}\)

โดยทั่วไปเราสามารถจำแนก rational function ได้เป็น 2 ประเภท

  1. proper rational function ซึ่งเป็นกรณีที่ดีกรีของ \(P(x)\) น้อยกว่าดีกรีของ \(Q(x)\)

  2. improper rational function ในกรณีนี้ดีกรีของ \(P(x)\) มากกว่าหรือเท่ากับดีกรีของ \(Q(x)\)

ในสมการ (??) rational function นี้เป็นแบบ improper ดังนั้นเมื่อทำการตั้งหารยาวผลลัพท์ที่ได้จะเป็นผลบวกของพหุนาม \(1 +x\) และ proper rational function \(- \frac{x+1}{x + x^3}\) ดังนั้นเราสามารถที่จะสมมติ ให้ rational function ของเราที่จะศึกษาต่อไปในบทนี้เป็น proper และเราจะหาวิธี ในการแยก proper rational function ให้อยู่ในรูปผลรวมของเศษส่วนย่อยให้ได้ โดยเราจะเริ่มต้นจากกรณีที่ตัวประกอบของตัวหารเป็น linear factors แล้วจึงพิจารณาในกรณีที่เป็น quadratic factors

Linear Factors สมมติให้ rational function \(R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) เป็น proper และถ้าทำการแยกตัวประกอบของ \(Q(x)\) แล้วมีเทอม \(ax + b\) ซ้ำกันทั้งหมด \(n\) เทอม (นั่นคือ \((ax +b)^n\) เป็นตัวประกอบของ \(Q(x)\)) แล้วการแยก \(R(x)\) เพื่อทำให้เป็นเศษส่วนย่อยจะต้องประกอบด้วย \(n\) เทอมต่อไปนี้ \[\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(ax+b)^n}\] โดยที่ \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) เป็นค่าคงตัว

ตัวอย่าง 6.12 Distinct Linear Factors จงหา \(\int\frac{1}{x(x+1)} dx\)

วิธีทำ โดยการแยกหาเศษย่อย เราจะได้ว่า \[\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\]

ตัวอย่าง 6.13 Repeated Linear Factors จงหา \(\int\frac{1}{x^2(x+1)} dx\)

วิธีทำ โดยการแยกหาเศษย่อย เราจะได้ว่า \[\frac{1}{x^2(x+1)} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x+1}\]

ตัวอย่าง 6.14 จงหาปริพันธ์ต่อไปนี้

  1. \(\int \frac{x}{x^2+1} dx\)

  2. \(\int \frac{x^2+1}{x} dx\)

  3. \(\int \frac{1}{x(x+1)^2} dx\)

  4. \(\int \frac{1}{x^2(x+1)^2} dx\)

วิธีทำ เนื่องจาก \[\frac{1}{x(x+1)^2} = \frac{1}{x} -\frac{1}{x+1} -\frac{1}{(x+1)^2}\] และ \[\frac{1}{x^2(x+1)^2} = \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} + \frac{2}{x+1} + \frac{1}{(1+x)^2}\]

Quadratic Factors ในกรณีที่ rational function \(R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) เป็น proper และ \((ax^2 +bx+c)^n\) เป็นตัวประกอบของ \(Q(x)\) แล้วการแยก \(R(x)\) เพื่อทำให้เป็นเศษส่วนย่อยจะต้องประกอบด้วย \(n\) เทอมต่อไปนี้ \[\frac{A_1x + B_1}{ax^2+bx+c} + \frac{A_2x + B_2}{({ax^2+bx+c})^2} + \cdots + \frac{A_nx + B_n}{({ax^2+bx+c})^n}\]

6.4 ปริพันธ์ไม่ตรงแบบ (Improper Integrals)

ในการนิยาม definite integral \(\int_{a}^{b} f(x) dx\) เราจะสมมติให้ฟังก์ชัน \(f(x)\) นี้นิยามบนช่วงปิด \([a,b]\) อย่างไรก็ตามในทางปฎิบัติเราอาจจะสนใจในกรณีต่อไปนี้

  1. กรณีที่ช่วงที่ใช้ในการหาปริพันธ์นั้นไม่ใช่ช่วงปิด เช่น \[[a, \infty) , (-\infty,b] \text{ หรือ } (-\infty,\infty)\]

  2. ตัว integrand \(f(x)\) ไม่ต่อเนื่องที่จุดใดจุดหนึ่งบนช่วงของการหาปริพันธ์

และเราจะเรียก integral ใน 2 กรณีนี้ว่า improper integral ในการหาปริพันธ์นี้เราจำเป็นที่จะต้องใช้เทคนิคพิเศษที่ช่วย โดยเราจะเริ่มต้นจากการพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง 6.15 พิจารณา \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx\)

วิธีทำ ค่าของปริพันธ์นี้ควรจะเป็นพื้นที่ที่อยู่ระหว่างกราฟ \(y = 1/x^2\) แกน \(x\) และเส้นตรง \(x=1\) ถ้าเราพิจารณาช่วงปิด \([1,t]\) เราจะสามารถหาค่าของ \[A(t) = \int_{1}^{t} \frac{1}{x^2} dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{t} = 1 - \frac{1}{t}\] ถ้าสมมติให้ \(t \rightarrow \infty\) เราจะสามารถหาลิมิตของ \(A(t)\) ได้ในกรณีซึ่งเท่ากับ 1 ดังนั้น เราจะนิยามให้พื้นที่ของบริเวณที่ถูกปิดล้อมด้วย \(y = 1/x^2\) สำหรับ \(x \in [1,\infty)\) เท่ากับค่าของลิมิตดังกล่าว และ \[\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{a}^t \frac{1}{x^2}dx = \lim_{t \rightarrow \infty} (1 - \frac{1}{t}) = 1\] โดยที่ลิมิตนี้หาค่าได้

จากตัวอย่างข้างต้น ทำให้เราสามารถสร้างนิยามได้ดังต่อไปนี้

นิยาม 6.1 (Infinite Limits of Integration)

  1. ถ้า \(\int_{a}^{t}f(x)dx\) หาค่าได้สำหรับทุกๆ จำนวนจริง \(t \ge a\) แล้ว \[\int_{a}^{\infty} f(x) dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{a}^t f(x) dx\] ถ้าลิมิตหาค่าได้

  2. ถ้า \(\int_{t}^{b}f(x)dx\) หาค่าได้สำหรับทุกๆ จำนวนจริง \(t \le b\) แล้ว \[\int_{-\infty}^{b} f(x) dx = \lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^b f(x) dx\] ถ้าลิมิตหาค่าได้

ถ้าลิมิตในข้อ 1 และ 2 หาค่าได้ เราจะเรียก improper integral นี้ว่า convergent แต่ถ้าลิมิตหาค่าไม่ได้ว่า divergent เราจะเรียก integral นี้ว่า divergent

  1. ถ้า improper integrals \(\int_{a}^{\infty} f(x) dx\) และ \(\int_{-\infty}^{a} f(x) dx\) convergent แล้ว \[\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^{a} f(x) dx + \int_{a}^{\infty} f(x) dx\]

ตัวอย่าง 6.16 จงหา \(\int_{-\infty}^0 x e^x dx\)

วิธีทำ โดยการใช้ integration by part เราสามารถแสดงว่า \[\int x e^x dx = x e^x - e^x +C\] ดังนั้น

\[\begin{equation} \begin{aligned} \int_{-\infty}^0 x e^x dx &= \lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^0 x e^x dx \\ &= \lim_{t \rightarrow -\infty} (-t e^t -1 + e^t) = -1 \end{aligned} \end{equation}\]

สำหรับกรณีที่ตัว integrand \(f(x)\) ไม่ต่อเนื่อง อาจจะไม่ต่อเนื่องที่จุด \(c\) โดยที่ \(c\) อาจจะเป็นจุดภายในช่วงปิด \([a,b]\) หรืออาจจะเป็นที่ขอบของช่วงปิดก็ได้ ในกรณีเราสามารถหาค่าของ improper integral ได้ดังต่อไปนี้

นิยาม 6.2 (Infinite Integrands)

  1. ถ้า \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \([a,b)\) แต่ไม่ต่อเนื่องที่จุด \(b\) แล้ว \[\int_{a}^b f(x) dx = \lim_{t \rightarrow b^{-}} \int_{a}^t f(x) dx\] ถ้าลิมิตนี้หาค่าได้

  2. ถ้า \(f\) ต่อเนื่องบนช่วง \((a,b]\) แต่ไม่ต่อเนื่องที่จุด \(a\) แล้ว \[\int_{a}^b f(x) dx = \lim_{t \rightarrow a^{+}} \int_{t}^b f(x) dx\] ถ้าลิมิตนี้หาค่าได้

ถ้าลิมิตในข้อ 1 และ 2 หาค่าได้ เราจะเรียก improper integral นี้ว่า convergent แต่ถ้าลิมิตหาค่าไม่ได้ว่า divergent เราจะเรียก integral นี้ว่า divergent

  1. ถ้า \(f\) ไม่ต่อเนื่องที่จุด \(c\) โดยที่ \(a < c <b\) และ \(\int_{a}^{c} f(x) dx\) และ \(\int_{c}^{b} f(x) dx\) convergent แล้ว \[\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx\]

ตัวอย่าง 6.17 จงหา \(\int_{1}^{5} \frac{1}{\sqrt{x-1}} dx\)

วิธีทำ เราสามารถใช้นิยาม 6.2 ในการหาค่าปริพันธ์ดังต่อไปนี้

\[\begin{equation} \begin{aligned} \int_{1}^{5} \frac{1}{\sqrt{x-1}} dx &= \lim_{t \rightarrow 1^{+} }\int_{t}^{5} \frac{1}{\sqrt{x-1}} dx \\ &= \lim_{t \rightarrow 1^{+}} 2\sqrt{x-1} |_{t}^{5} \\ &= \lim_{t \rightarrow 1^{+}} (4 - 2\sqrt{t-1}) = 4 \end{aligned} \end{equation}\]

ดังนั้น improper integral นี้จะ converge เข้าสู่ค่า 4

ตัวอย่าง 6.18 จงหา \(\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2} dx\)

วิธีทำ เนื่องจาก \(f(x)\) ไม่ต่อเนื่องที่จุด 0 ดังนั้นเราสามารถใช้นิยาม 6.2 ในการหาค่าปริพันธ์ดังกล่าว

\[\begin{equation} \begin{aligned} \int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2} dx &= \lim_{t \rightarrow 0^{-} }\int_{-1}^{t} \frac{1}{x^2}dx + \lim_{s \rightarrow 0^{+}} \int_{s}^{1} \frac{1}{x^2}dx \\ &= \lim_{t \rightarrow 0^{-}} \left[ -\frac{1}{x}\right]_{-1}^t + \lim_{s \rightarrow 0^{+}} \left[ -\frac{1}{x}\right]_{s}^1 \\ &= \lim_{t \rightarrow 0^{-}} (-\frac{1}{t} - 1) + \lim_{s \rightarrow 0^{+}} (-1 +\frac{1}{s}) \end{aligned} \end{equation}\]

แต่เนื่องจากลิมิตในบรรทัดสุดท้ายนี้หาค่าไม่ได้ เราจึงสรุปว่า \(\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2} dx\) เป็น divergent

หมายเหตุถ้าเราไม่ใช่วิธีเบื้องต้น โดยเลือกที่จะคำนวณโดยตรงโดยไม่สนใจจุดที่ฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง เราจะได้ว่า \[\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2} dx = \left[ -\frac{1}{x}\right]_{-1}^1 = -1 + -1 = -2\] ซึ่งไม่ใช่ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง (เพราะว่ากราฟ \(y = \frac{1}{x^2}\) อยู่เหนือแกน \(x\) ดังนั้น \(\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2} dx\) จะต้องมีค่าที่เป็นบวก)

6.5 แบบฝึกหัด (Improper Integrals)

จงหา improper integrals ต่อไปนี้

  1. \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx\) divergent

  2. \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(x+1)^{3/2}}dx = \sqrt{2}\)

  3. \(\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{(2x + 1)^2} dx = \frac{1}{2}\)

  4. \(\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-x^2} dx = 0\)

  5. \(\int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x^2} dx = 1\)

  6. \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx = 2\)

  7. \(\int_0^{1} \frac{x}{x^2-1} dx\) divergent

  8. \(\int_0^{1/2} \frac{x}{x^2-1} dx = -\frac{1}{2} \ln (\frac{4}{3})\)