SCMA104 Systems of Ordinary Differential Equations and Applications in Medical Science
2024-10-02
บทที่ 1 หลักการและความสำคัญของแคลคูลัสและระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ
แคลคูลัสมีส่วนประกอบหลักที่สำคัญอยู่ 2 องค์ประกอบ คือ
การหาอนุพันธ์ (differentiation) และ
การหาปริพันธ์ (Integration)
การประยุกต์เรื่องการหาอนุพันธ์ในการแก้ปัญหาเบื้องต้นที่สำคัญในทางชีววิทยา หรือทางการแพทย์ ประกอบด้วย การหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณของตัวแปรที่เราสนใจ และการใช้แคลคูลัสในการแก้ปัญหาการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของปัญหาหรือฟังก์ชันที่แสดงความสัมพันธ์ของตัวแปรที่เราสนใจ
ตัวอย่างการเปลี่ยนแปลงของปริมาณที่สนใจ เช่น ขนาดของประชากร จำนวนของผู้ติดเชื้อจากโรคทางเดินหายใจ ระดับนำ้ตาลในกระแสเลือด ปริมาณของยาที่มีอยู่ในกระแสเลือกหรือส่วนหนึ่งของร่างกาย โดยที่การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวสามารถเปรียบเทียบได้กับเวลา ดังต่อไปนี้
ประชากรในประเทศไทยปี พ.ศ. 2566 มีจำนวน 66.05 ล้านคน (ข้อมูลอ้างอิงจาก สำนักงานคณะกรรมการส่งเสริมการลงทุน)
ข้อมูลจำนวนผู้รักษาตัวในโรงพยาบาลจากศูนย์ข้อมูล COVID-19 ระหว่างวันที่ 28 กรกฎาคม ถึงวันที่ 3 สิงหาคม พ.ศ. 2567 (ข้อมูลอ้างอิงจาก ศูนย์ข้อมูล Covid-19)
Figure 1.1: ข้อมูลจำนวนผู้รักษาตัวในโรงพยาบาลจากศูนย์ข้อมูล COVID-19
- การเปลี่ยนแปลงของระดับนำ้ตาลในเลือดระหว่างมืออาหารสามมือในหนึ่งวัน (รูปภาพอ้างอิงจาก Wikipedia: Blood Sugar Level)
Figure 1.2: ความผันผวนของระดับน้ำตาลในเลือด (สีแดง) และฮอร์โมนอินซูลิน (สีน้ำเงิน) ในมนุษย์ระหว่างมื้ออาหารสามมื้อ
- การเปลี่ยนแปลงของปริมาณยาในกระแสเลือดที่เวลาต่างๆ สำหรับการให้ยาโดยวิธีต่างๆ (รูปภาพอ้างอิงจาก บทความทางวิชาการในฐานข้อมูล MDPI)
Figure 1.3: ความเข็มข้นของยาในกระแสเลือดที่เวลาต่างๆ
ในการทำความเข้าใจการเปลี่ยนแปลงของปริมาณข้างต้นเทียบกับเวลา เราสามารถประยุกต์ใช้การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่อมาใช้อธิบายการเปลี่ยนแปลงของปริมาณต่างๆ ที่เกี่ยวข้อง
การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เป็นกระบวนการอธิบายปัญหาหรือ ปรากฎการต่างๆ ที่เกิดขึ้นในธรรมชาติ โดยปกติแล้วจะอยู่ในรูปของสมการทางคณิตศาสตร์ ซึ่งแบบจำลองทางคณิตศาสตร์นี้จะช่วยให้อธิบายสิ่งต่างๆ ที่เกิดขึ้นในปัญหาหรือปรากฏที่สนใจ
ตัวอย่างต่อไปนี้จะแสดงถึงแนวคิดในการประยุกต์ของแคลคูลัสที่เกี่ยวข้องกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของ
ตัวอย่าง 1.1 ในการทดลองหนึ่ง นักวิจัยต้องการศึกษาการขยายพันธ์ของแบคทีเรียที่มีการการแบ่งตัวที่เรียกว่า binary fission (การแบ่งตัวแบบทวิภาค) ซึ่งแบคทีเรียจะมีการแบ่งจากหนึ่งเป็นสองเซลเท่าๆ กัน และได้ผลการทำลองดังต่อไปนี้
Figure 1.4: กระบวนการแบ่งตัวแบบทวิภาคของแบคทีเรีย
(รูปอ้างอิงจาก BYJU’s Learning Website )
| เวลา (10 นาที) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| จำนวนแบคทีเรีย | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
ตาราง 1.1 และรูปที่ 1.5 แสดงการเปลี่ยนแปลงของจำนวนแบคทีเรียที่เวลาใดๆ ในตัวอย่างนี้การเปลี่ยนแปลงของจำนวนของแบคทีเรียที่เวลา \(t\) สามารถเขียนในรูปฟังก์ชัน \(N(t)\) ถ้าให้ \(N_0\) แทนจำนวนของแบคทีเรียตอนเริ่มการทดลอง แล้วแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับการเพิ่มของจำนวนแบคทีเรียจะสามารถเขียนในรูปของสมการ
\[\begin{equation} N(t) = N_0 \cdot 2 ^t, \quad t = 0,1,2, \ldots \tag{1.1} \end{equation}\]
ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์นี้การเปลี่ยนแปลงของจำนวนแบคทีเรียที่เวลา \(t\) ใดๆ เพิ่มขึ้นในลักษณะที่เรียกว่า เอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Population Growth)
Figure 1.5: Population Size Over Time
ตัวอย่าง 1.2 ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ในตัวอย่างของการขยายพันธ์แบคทีเรีย หรือในปัญหาอื่นๆ แทนที่เราจะพยายามหาความสัมพันธ์ หรือฟังก์ชัน \(N(t)\) ในรูปของเวลา \(t\) โดยตรง ถ้าเราทราบกระบวนการที่เกี่ยวข้องกับการอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร \(N(t)\) นั้น เราสามารถนำมาใช้ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ได้ดังต่อนี้ กระบวนการที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงของจำนวนแบคทีเรีย (การเพิ่มหรือลดลงของแบคทีเรีย) ที่เกิดขึ้นในระหว่างเวลา \(t\) และเวลา \(t + h\) เกิดจากจำนวนแบคทีเรียที่เพิ่มขึ้น (เกิดขึ้นมาใหม่) ในช่วงเวลาดังกล่าว และลดลงจากจำนวนแบคทีเรียที่ลดลง (ตายไป) ในช่วงเวลาดังกล่าวเช่นกัน ซึ่งเราสามารถเขียนในรูปของสมการได้ดังต่อไปนี้
\[\begin{equation} \begin{aligned} N(t + h) &= N(t) \\ &\quad + \text{จำนวนแบคทีเรียที่เกิดขึ้นใหม่ระหว่าง } t \text{ และ } t+h \\ &\quad - \text{จำนวนแบคทีเรียที่ตายไประหว่าง } t \text{ และ } t+h \end{aligned} \tag{1.2} \end{equation}\]
ในที่นี้ “การเกิด” เราหมายถึงการเพิ่มจำนวนของแบคทีเรียจากหนึ่งเป็นสอง และเราจะกำหนดให้ \(h\) เป็นช่วงเวลาสั้นๆ (ซึ่งเราสามารถใช้ความรู้แคลคูลัสในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์ (differential equation)) ในสมการ (1.2) ถ้าเราสมมติว่า การเพิ่มของแบคทีเรียเป็นสัดส่วนกับจำนวนแบคทีเรียที่มีอยู่ในขณะนั้น หรือเขียนในรูปของสมการได้ดังนี้
\[ \text{จำนวนแบคทีเรียที่เกิดใหม่ระหว่าง } t \text{ และ } t + h \approx b \cdot N \cdot h \]
\[ \text{จำนวนแบคทีเรียที่ตายไประหว่าง } t \text{ และ } t + h \approx m \cdot N \cdot h \]
โดยที่ค่าคงตัว \(b\) และ \(m\) ในสมการข้างต้น คือ อัตราการเกิด (birth rate) และอัตราการตาย (mortality rate)
เมื่อแทนจำนวนแบคทีเรียที่เกิดใหม่ และตายไประหว่างช่วงเวลาที่กำหนดลงในสมการ (1.2) จะได้สมการ
\[\begin{equation} N(t + h) - N(t) = b\cdot N(t) \cdot h - m\cdot N(t) \cdot h \tag{1.3} \end{equation}\]
เราสามารถจัดรูปสมการ (1.3) ได้ไหมในรูปของอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของจำนวนแบคทีเรียในช่วงเวลาดังกล่าว ดังนี้
\[\begin{align} \frac{N(t + h) - N(t)}{h} &= b\cdot N(t) - m\cdot N(t)\\ \tag{1.4} \end{align}\]
ดังนั้น ถ้าเราให้ \(h\) เข้าใกล้ 0 ผ่านการหาค่าลิมิต เราจะได้อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง (instantaneous rate of change) และเขียนได้ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์ ดังนี้
\[\begin{align} \frac{dN}{dt} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{N(t + h) - N(t)}{h} &= b\cdot N(t) - m\cdot N(t)\\ \tag{1.5} \end{align}\]
ทั้งนี้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ (1.5) เพื่อให้ได้คำตอบที่แสดงจำนวนแบคทีเรีย \(N(t)\) ในรูปของฟังก์ชันของ \(t\) เราจะต้องกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับจำนวนแบคทีเรีย \(N(t)\) ที่เวลา \(t\) หนึ่ง โดยทั่วไปเราจะกำหนดค่าเริ่มต้นของจำนวนแบคทีเรียที่ \(t = 0\) ดังนั้น ถ้าเรากำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น (initial condition)
\[\begin{equation} N(0) = N_0 \tag{1.6} \end{equation}\]
เราสามารถหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นโดยวิธีการหาปริพันธ์ (Integration) ได้คำตอบของสมการดังนี้
\[\begin{equation} N(t) = N_0 e^{(b-m)t} \tag{1.7} \end{equation}\]
ตัวอย่าง 1.3 ในการทดลองเลี้ยงยีสต์ในขวดทดลองที่มีอาหารเลี้ยงยีสต์ในปริมาณที่เหมาะสม ผู้ทำการทดลองสนใจที่จะประมาณค่าของยีสต์โดยอาศัยแบบจำลองการเปลี่ยนแปลงของประชากรที่อธิบายด้วยสมการ (1.7) กำหนดให้
ภายใต้สภาวะของการทดลองที่เหมาะสม ยีสต์จะแบ่งตัวทุกๆ 90 นาที
ยีสต์มีครึ่งชีวิตเท่ากับ 1 สัปดาห์
จากข้อมูลดังกล่าว จงแสดงวิธีทำเพื่อหาคำตอบจากคำถามต่อไปนี้
จงประมาณค่าของอัตราการเกิด \(b\) (1/ชั่วโมง) และอัตราการตาย \(m\) (1/ชั่วโมง)
เขียนแบบจำลองทางคณิตศาสตร์โดยใช้ค่า \(b\) และ \(m\) ที่ประมาณค่าได้ (สมการ (1.7))
ใช้เครื่องมือที่นักศึกษามีอยู่ในการวาดกราฟแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนยีสต์ที่เวลาต่างๆ
เปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้กับรูปภาพแสดงการเปลี่ยนแปลงของยีสต์จากการทดลองในห้องปฏิการ ตามรูปที่ 1.6 (รูปภาพอ้างอิงจาก https://homework.study.com/)
Figure 1.6: กราฟการเจริญเติบโตของเซลล์ยีสต์
ตัวอย่าง 1.4 จงใช้อินเทอร์เน็ตเพื่อค้นหาตัวอย่างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์หรือระบบสมการเชิงอนุพันธ์ ข้อมูลที่ต้องการประกอบด้วย
ค้นหาหน้าเว็บที่ให้ข้อมูลเกี่ยวกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในปัญหาที่นักศึกษาสนใจ
จดบันทึก URL ของหน้าเว็บ
เขียนสรุปสั้นๆ ว่าโมเดลนี้ใช้เพื่ออะไร
วิธีทำ
ตัวอย่างของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ได้จากการสืบค้นข้อมูลอินเทอร์เน็ตจาก
แบบจำลองทางคณิตศาสตร์จำลองการเปลี่ยนแปลงของความเข้มข้นของยา \(c\) ณ เวลา \(t\) โดยที่กำหนดขนาดยา (drug dosage) เท่ากับ \(d\)
\[ \frac{dc}{dt} = \frac{k_a}{k_a - k_e}\left[ k_a \cdot d \cdot b \cdot e^{-at} - k_e \cdot c \cdot v \right] \]
โดยที่
\(k_a\) คือ ค่าคงตัวของการดูดซึมยา
\(k_e\) คือ ค่าคงตัวของการกำจัดยา
\(v\) แทน ปริมาตรของยาในร่างกาย
\(b\) แทน สัดส่วนของปริมาณยาที่ถูกดูดซึมเข้าไปในร่างกายเทียบกับขนาดของยา
ตามหลักเภสัชจลนศาสตร์ เมื่อได้รับยาเข้าสู่ร่างกาย จะมีกระบวนการดูดซึมยา การกระจายตัวของยา การเปลี่ยนแปลงยา และการขับถ่ายยาออกจากร่างกาย
Figure 1.7: การเปลี่ยนแปลงความเข้มข้นของยาในระยะการดูดซึม และการกำจัดออกจากร่างกาย
การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์จะมีประโยชน์ที่สำคัญที่ทำให้ผู้เชี่ยวชาญด้านยาสามารถกำหนดขนาดของยาที่เหมาะสม อย่างต่อเนื่องเป็นระยะเวลาที่เพียงพอกับการรักษา เพื่อให้ได้ผลการรักษาที่ดีที่สุด
โดยสรุป แคลคูลัสและสมการเชิงอนุพันธ์เป็นเครื่องมือสำคัญในการทำความเข้าใจว่าสิ่งต่างๆ เปลี่ยนแปลงไปอย่างไรและ แคลคูลัสช่วยให้เราวิเคราะห์อัตราการเปลี่ยนแปลงและพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ในขณะที่สมการเชิงอนุพันธ์ช่วยให้เราสร้างแบบจำลองระบบที่ซับซ้อนในสาขาต่างๆ เช่น ฟิสิกส์ วิศวกรรม เศรษฐศาสตร์ และชีววิทยา แนวคิดทางคณิตศาสตร์เหล่านี้มีความสำคัญต่อการแก้ปัญหาในโลกแห่งความเป็นจริง เมื่อโลกของเราก้าวหน้ามากขึ้น ความสำคัญของแคลคูลัสและสมการเชิงอนุพันธ์ก็จะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง ซึ่งสนับสนุนความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี